О физической интерпретации мнимой части комплексных чисел

[Сергей Заикин]

Для этого нужен конкретный пример какого-либо физического процесса, описываемого с использованием комплексных чисел. Только мне пока, кроме полудохлого кота Шредингера, ничего на ум не приходит.

Про конкретный пример - это здравая мысль.
Предлагаю рассмотреть коэффициент преобразования Лоренца (лоренц-фактор):

Это еще не само комплексное число, а основа для его появления - появления корня из минус единицы.
Этот пример пришел мне голову только что, экспромтом, поэтому у меня нет для него готового решения.
Но пример, думаю, очень подходящий, поскольку здесь и физика и математика, и актуальность проблемы, Думаю, что этот пример позволит понять природу появления мнимых чисел. Заодно и физический смысл лоренц-фактора (возможно) прояснится.
Так что Вам и карты в руки.

[Rem]

Про конкретный пример - это здравая мысль.
Предлагаю рассмотреть коэффициент преобразования Лоренца (лоренц-фактор):

Это еще не само комплексное число, а основа для его появления - появления корня из минус единицы.
Этот пример пришел мне голову только что, экспромтом, поэтому у меня нет для него готового решения.
Но пример, думаю, очень подходящий, поскольку здесь и физика и математика, и актуальность проблемы, Думаю, что этот пример позволит понять природу появления мнимых чисел. Заодно и физический смысл лоренц-фактора (возможно) прояснится.
Так что Вам и карты в руки.

Связь с комплексными числами не обязательно через корень из минус единицы. Можно переписать так
\(\displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=cos \left(i~ln \left(\frac{c+v}{c-v}\right)/2\right)\), где \(\displaystyle i~ln \left(\frac{c+v}{c-v}\right)/2~-\) комплексный угол поворота в 4-пространстве.
Лоренц-фактор это косинус от комплексного угла поворота в 4-пространстве.
Угол поворота (без \(i\)) в гиперболическом 4-пространстве равен \(\displaystyle ψ=Arth \left(\frac{v}{c} \right)\).

[Сергей Заикин]

Связь с комплексными числами не обязательно через корень из минус единицы.

Связь чего?
В данном случае наибольший интерес представляет связь математических операторов с реальными (физическими) явлениями.

[Дмитрий Николаевич Мотовилов, Доктор наук РАЕ]

Лоренц-фактор это косинус от комплексного угла поворота в 4-пространстве.
Угол поворота (без \(i\)) в гиперболическом 4-пространстве равен \(\displaystyle ψ=Arth \left(\frac{v}{c} \right)\).

Это вот реально описание мнимой реальности мнимым числом

[Rem]

Связь чего?
В данном случае наибольший интерес представляет связь математических операторов с реальными (физическими) явлениями.

Вы написали

Это еще не само комплексное число, а основа для его появления - появления корня из минус единицы.

Я указал, что есть другая связь, а о соответствие реальности этой связи, решайте сами. Это зависит от Вашего понимания
физического смыла мнимого угла в математике 4-пространства.
Математически мнимость угла связана с требованием линейной независимости осей системы координат \((ct,x,y,z)\).
Это стандартное требование для любой системы координат как в 3-пространстве, так и 4-пространстве.

[Е.А.Меркулов]

Для пущей наглядности (связи математики с физикой), угол \(\displaystyle ψ\) можно рассматривать в качестве "фазового угла", меняющего величины электрического и магнитного векторов "\(E=1 \sin \displaystyle ψ\)" и "\(H=1 \cos \displaystyle ψ\)" электромагнитной волны.
К примеру, пусть фаза этой волны (\(E=1~~ и ~~H=0\)) будет соответствовать фазовому углу \(\displaystyle ψ_1=90^\circ\)
А фаза (\(E=0 ~~и~~ H=1\)) - углу \(\displaystyle ψ_2=0^\circ\)
Тогда любая "промежуточная"  фаза волны (\(E=c_1~~ и ~~H=c_2\)) будет описываться суперпозицией этих углов "крайних" фаз, как: \[ \displaystyle ψ_3=c_1\cdot \displaystyle ψ_1+ c_2\cdot \displaystyle ψ_2\\где: ~~c_1^2+ c_2^2=1  \]Именно это волновое представление было положено Шредингером в основу описания квантовых систем.
С утверждением того, что если для какой-либо квантовой системы допустимы фазовые состояния: \(\displaystyle ψ_1\) и \(\displaystyle ψ_2\) то тогда для нее допустима и любая линейная комбинация этих состояний: \(\displaystyle ψ_3\)
При этом, коэффициенты: \(c_1^2~~ и~~ c_2^2\) стали рассматриваться в качестве вероятностей одновременного пребывания квантовой системы в соответствующих "крайних" состояниях: \(\displaystyle ψ_1\) и \(\displaystyle ψ_2\)
Что, в конечном счете, и породило концепцию его нелепого кота.

[Е.А.Меркулов]

А теперь, о главном.
Если у нас имеется квантовая система, хотя бы один параметр которой способен существовать либо в реальной: \(\displaystyle ψ_1=1\), либо в мнимой фазе: \( \displaystyle ψ_2=\sqrt{-1}=i \)
То, в общем случае, такая система (по своему выбранному параметру) будет описываться комплексным числом: \[ \displaystyle ψ_3=c_1\cdot \displaystyle ψ_1+ c_2\cdot \displaystyle ψ_2\\\displaystyle ψ_3=c_1+ i\cdot c_2 \]Поскольку у Шредингера
\( \displaystyle ψ\) - это уже не фазовый угол волновой функции, а параметр квантовой системы.