О физической интерпретации мнимой части комплексных чисел

[Сергей Заикин]

Квадратный корень из -1 обозначается  i. √-1 = i.
В математике i  это обозначение мнимой части комплексного числа. Физика имеет дело с реальными явлениями, поэтому появление в физических уравнениях мнимой части выглядит неким недоразумением. Возникает естественный вопрос - что такое i в физике, как возможно среди реальных явлений появление мнимых явлений и что из себя представляет физически мнимая величина?
В качестве гипотезы интерпретации i в реальности можно предложить следующую идею. Величина мнимой части комплексного числа является вполне реальной величиной, но расположенной за границей рассматриваемого явления, например, за пределами частицы. Умножение комплексного числа на i приводит к переходу самого акта рассмотрения через условную границу частицы, в результате чего мнимая часть становится действительной, а действительная становится мнимой, расположенной за границей рассматриваемой области.
Физические уравнения, содержащие мнимую часть, описывают явления внутри частицы, однако внешние явления также оказывают влияние на внутренние явления в частице, но это влияние не полное, поскольку отделено границей.

[Сергей Заикин]

В качестве примера использования комплексных чисел в описании физических явлений можно привести распространение электромагнитных волн, в которых изменяются величины электрической и магнитной напряженности, часто описываемые в виде комплексных чисел.
Напоминаю, что задача ставится определить (выявить) "физический" смысл мнимой части комплексных чисел, а не придумать еще один математический.
Физический смысл величин наиболее наглядно может иллюстрироваться единицами измерения этих величин. У каждой величины они свои. Можно также отметить, что единицы измерения действительной части и мнимой части величин, описываемых комплексными числами, одинаковы.
Если задается электрическая напряженность, то у действительной и мнимой части единица измерения В/м, у магнитной напряженности А/м. У произведения этих напряженностей получается единица измерения соответствующая плотности потока мощности - Вт/м².
Что интересно, действительная часть плотности потока мощности равна сумме: произведение действительных частей напряженностей + произведение мнимых частей напряженностей.
И все по правилам умножения комплексных чисел:
Е = Еr + i٠Em,
H = Hr + i٠Hm
E٠H = Er٠Hr + Em٠Hm + i٠(Er٠Hm + Em٠Hr).
Моя версия физического смысла мнимых величин изложена выше, а каков, по-вашему, физический смысл мнимой части физических величин, заданных комплексными числами?

[Slava Parkov]

Комплексные числа в физике используются по разному.
Например, комплексная частота: действительная часть отвечает за коллебания, а мнимая за затухание.

\omega=\omega_1 + i \omega_2

\exp\left(  i\omega t\right)  =\exp\left(  i\omega_{1}t\right)  \exp\left( -\omega_{2}t\right)

[Slava Parkov]

Другой пример, квантовая теория. Там комплексные числа нужны для своих собственных нужд, а наблюдаемые величины всегда действительные (

p=\left\vert \varphi\right\vert ^{2}

[Сергей Заикин]

Другой пример, квантовая теория. Там комплексные числа нужны для своих собственных нужд, а наблюдаемые величины всегда действительные (

p=\left\vert \varphi\right\vert ^{2}

Комплексные числа это инструмент описания реальных явлений. И как ни странно он работает, несмотря на отсутствие (невыясненность) физического смысла мнимой части комплексных чисел.
Кроме физического смысла конечно нужно выяснить и области применения комплексных чисел. Например, волновая функция Шрёдингера также содержит мнимую часть, правда, там и действительная-то часть не имеет физического смысла.
Олег Сазонов привел пример импеданса (полного сопротивления), который тоже описывается комплексным числом
Z = R + iωL + 1/iωC
Выше приведены напряженности и поток мощности.
Величин много, но остается неясным, что из себя представляет мнимая часть в реальности (в реальной обстановке).

[Влад Дор]

Может комплексные числа пригодятся при расчёте "затухания" амплитуд волн, приходящих в наш мир из "отрицательных областей" более высоких измерений?! ;)
Как вам моя "идея"? :)

[Сергей Заикин]

Может комплексные числа пригодятся при расчёте "затухания" амплитуд волн, приходящих в наш мир из "отрицательных областей" более высоких измерений?! ;)
Как вам моя "идея"? :)

Идей как таковых вообще-то не бывает, идея это новый способ решения некоторой проблемы. Для каждой проблемы -  идеи свои.
Ваша идея - "может комплексные числа пригодятся при ..." о другой проблеме, нежели поставленной здесь (что из себя представляет  мнимая величина в реальности?).
У Вас - где еще можно пристроить комплексные числа, а рассматриваемой теме - о физическом смысле мнимой величины. Так что уточните свою идею.

[Slava Parkov]

Я думаю, что вы зря ищите глубокий смысл в мнимых числах. Это удобно, не только в физики, но и в математике, это вскрывает связи между процессами, люди привыкли, но, в принципе, можно и без мнимых чисел. Просто формулы будут в разы (если не в десятки раз) больше и понять их будет куда труднее.

[Сергей Заикин]

Я думаю, что вы зря ищите глубокий смысл в мнимых числах. Это удобно, ... это вскрывает связи между процессами.

Предлагается искать не глубокий смысл, а физический смысл мнимых чисел.
Насчет "удобно" возражений нет, а вот насчет "вскрывает связи между процессами" - это вряд ли. Не зная физического смысла мнимых величин, вряд ли можно достоверно судить о поведении этих величин и связях между ними в реальности.

Зачем вообще ищется физический смысл мнимых величин? - начинать-то с чего-то нужно (для уточнения физического смысла всех величин и математических операций, используемых в физике). Проблема гораздо шире. Утрата физического смысла характерна для многих математических выражений, используемых в физике, и это стало одной из причин кризиса в физике, увода в физики в математические дебри.
Кроме того, любое слово (понятие) языка имеет свой денотат, то есть некое явление или объект реальности, который именуется данным словом. Математический язык не может быть в этом плане исключением, каждый знак, каждая операция, применяемые в физике, должны иметь свой денотат в реальности. В том числе и мнимая часть комплексного числа. В этом и заключается проблема - величина в знаках есть, математические действия с этой величиной соответствуют реальным результатам, а что соответствует мнимой части в реальности - не установлено.

[Slava Parkov]

Насчет "удобно" возражений нет, а вот насчет "вскрывает связи между процессами" - это вряд ли. Не зная физического смысла мнимых величин, вряд ли можно достоверно судить о поведении этих величин и связях между ними в реальности.

Насчет связи - это как раз так.
Я могу написать:

\func{Re}\left( \exp \left( i\left( \omega _{0}+i\omega _{1}\right) t\right) \right)

или

\cos \left( \omega _{0}t\right) \exp \left( -\omega _{1}t\right)

Это эквивалентные записи. Но в первом случае видно, что частота и затухание всегда идут (и будут) вместе, что бы мы не делали, а во втором случае, это два независимых процесса.

Вообще, по-моему, постановка вопроса не правильна. Мнимые числа - это математическое понятие, оно не имеет физического смысла. Он появляется, когда мы ничинаем их использовать в физических формулах. И в каждом случае он может быть разным.

[Сергей Заикин]

Вообще, по-моему, постановка вопроса не правильна. Мнимые числа - это математическое понятие, оно не имеет физического смысла. Он появляется, когда мы начинаем их использовать в физических формулах. И в каждом случае он может быть разным.

Можно и уточнить вопрос. Разным физический смысл является по причине, что сами величины разные. Разными в разных формулах являются не только мнимые, но и действительные части комплексных чисел. Вопрос ставится об отличии физического смысла действительной и мнимой части одного и того же комплексного числа. Например, в чем отличие Еr от Em, Hr  от Hm ( в выражениях Е = Еr + i٠Em, H = Hr + i٠Hm)?

[sam gorelik]

Я полагаю, что искать физический смысл мнимых чисел, не надо. Числа материальны с точки зрения информационной теории, хотя это не очевидно и трудно воспринимается. Числа существуют в природе независимо от сознания человека  -существовали до него и будут существовать после.Можно спорить на эту тему, но такая точка зрения вполне может быть обоснована. Желающим дам ссылки на соответствующие источники.Именно в этой модели мира - числа как действительные, так и мнимые (точнее их множества) представляют описания (отображения) всех природных объектов в некотором "облаке". Эти описания вполне материальны и, самое, удивительное, информационное взаимодействие между объектами живой и неживой природы осуществляется часто через эти описания ("виртуальные образы"). Кстати, хранение, передача и прием числовой информации требуют энергетических затрат, которые нося материальный характер. Взаимодействие может осуществляться через различные механизмы, которые мы обычно представляем в виде гравитационного, электромагнитного, звукового и т.п. полей, которые обычно описываются через волновые представления, что и объединяет действительные и мнимые  числа.

[Slava Parkov]

Можно и уточнить вопрос. Разным физический смысл является по причине, что сами величины разные. Разными в разных формулах являются не только мнимые, но и действительные части комплексных чисел. Вопрос ставится об отличии физического смысла действительной и мнимой части одного и того же комплексного числа. Например, в чем отличие Еr от Em, Hr  от Hm ( в выражениях Е = Еr + i٠Em, H = Hr + i٠Hm)?

Вы не от того конца пляшете. Сначала выписываются нормальные уравнения (E*Cos(omega*t)... ) а потом их можно (или нельзя) преобразовать в комплексные числа.

[Сергей Заикин]

Можно и уточнить вопрос. Разным физический смысл является по причине, что сами величины разные. Разными в разных формулах являются не только мнимые, но и действительные части комплексных чисел. Вопрос ставится об отличии физического смысла действительной и мнимой части одного и того же комплексного числа. Например, в чем отличие Еr от Em, Hr  от Hm ( в выражениях Е = Еr + i٠Em, H = Hr + i٠Hm)?

Вы не от того конца пляшете. Сначала выписываются нормальные уравнения (E*Cos(omega*t)... ) а потом их можно (или нельзя) преобразовать в комплексные числа.

Вопрос вовсе не в том, как получаются комплексные числа, а в том - чем отличаются между собой мнимая и действительная часть комплексного числа. Единица измерения у них одна, но они не могут быть сложены.
Ваша реплика в сущности скрывает сам вопрос и естественно не дает на него ответа.

[sam gorelik]

Еще раз хочу подчеркнуть.Пока мы не станем рассматривать действительные и мнимые числа (точнее, их совокупности) как отражение физических процессов, мы практически не сдвинемся с месте в понимании того, что числа и объекты ими описываемые есть просто две стороны одного процесса. Аналогия с облачной технологией здесь вполне уместна. Каждый физический (и не только физический, но и любой материальный объект) имеет свою числовую модель (или даже несколько для разных приложений). Операции с моделями часто используются в разных прикладных дисциплинах и заменяют физические опыты.Так удобнее по многим причинам. Бояться математики и , тем более, противопоставлять ее физике, не надо.Современная математика очень изменилась и стала наукой, которая оперирует с понятиями чаще, чем с формулами и числами, но это надо принимать и  изучать, а не отрицать. Математика стала гораздо более "материальной" в некотором смысле, а физика более "математичной". Такова жизнь!