Измеряя удлинение железной (или титановой) проволоки
Δl (
l – длина,
d - диаметр), растягиваемой весом
p = mg груза, массой
m, можно рассчитать величину элементарного заряда (Рис.1)
http://samlib.ru/img/d/doroshew/ris/din.jpg.
В соответствии с законом Гука механическое напряжение
σ =4p/πd2 в проволоке пропорционально деформации
ξ=Δl/l:
σ= Eξ,
где,
Е - модуль Юнга.
В каждой ячейке кристаллической решётки металла проволоки механическому давлению
σ= 4mg/πd2, (1)
противодействуют приращение кулоновских сил Δf иона железа с «газом» свободных электронов (Рис.2 Объёмно-центрированная кубическая решётка железа или титана)
http://samlib.ru/img/d/doroshew/ris/cr3.jpgσ1 = Δf/s (2),
где,
s = a2/2 – половина площади основания ячейки кристаллической решётки (поскольку у атома металла два свободных электрона);
a = 2,86*10-10 , м - постоянная кристаллической решётки.
Ионы кубической решётки металла (Рис.2) взаимодействуют со свободными электронами на расстояниях от
a/2 до
a√3/2.
Величину
Δf определим, как приращение сил Кулона при растяжении на величину
ξ = da/aΔf = 2 k e2ξ/(a/2)2
,
где,
k = 9*109 Нм
2 / Кл
2– коэффициент пропорциональности;
e, Кл – заряд электрона.
Можно показать (взяв интеграл функции
x-2 в пределах
x = 1 …√3 и разделив на диапазон изменения абсцисс), что среднее значение
Δf составит
Δfср = 0,57 *Δf = 4,59 k e2ξ/a2.
Поскольку (2)
σ1 = 2Δfср / a2, получим
σ1=9,18 k e2ξ/a4
Используя
σ1 = σ и равенство (1), найдём заряд электрона
e = a2 (1,74g/kπ)0,5(m/ξd2)0,5 = 20,01*10-25(m/ξd2)0,5.
При
l =1м,
m = 1 кг,
d = 1мм , получаем
e = 6,32 *10-19/Δl0,5 = 1,69* 10-19, Кл,
где,
Δl = 14 – удлинение отожжённой железной проволоки, измеряемое в сотых долях миллиметра (цена деления шкалы микрометра макета Рис.1).
Вывод.
1.Возможно косвенное измерение заряда электрона простыми механическими средствами.
2. Проведя измерение в лабораторных условиях при использовании титановой проволоки можно получить повторяемость результата, поскольку разброс значений модуля Юнга титана около 1%.
