Конечно малые dx

[Сергей Заикин]

В математике дифференциальное исчисление построено на отношении дифференциалов – dy/dx, где под дифференциалами понимаются разности величин, типа (х1 – х2), стремящиеся к нулю. Их называют бесконечно малыми величинами.
В математике бесконечно малые величины не вызывают особых вопросов, а вот в физике, в реальности – вопросы возникают. Что это еще за бесконечно малая величина? Ведь в физике все величины размерные, имеют вполне конкретную размерность. Как размерная величина может иметь бесконечную малость?
Например, скорость это dx/dt. Скорость показывает соотношение изменений координат в пространстве и изменений времени.
Скорость света принята постоянной по величине, для нее соотношение изменений в пространстве и изменений во времени фиксировано. Принято фиксированным.
Следовательно, и величины dx и dt должны быть фиксированными, конечными, а вовсе не бесконечно малыми. Надо полагать, что величины dx и dt действительно являются малыми, но не бесконечно же.
Малыми, но конечно малыми величинами. А что это такое малое, но фиксированно малое? Уж не элемент ли эфира?
Что скажут на это физики и математики?

[Дмитрий Мотовилов]

Скорость света принята постоянной по величине, для нее соотношение изменений в пространстве и изменений во времени фиксировано.
Следовательно, и величины dx и dt должны быть конечными, а вовсе не бесконечно малыми. Что скажут на это физики и математики?

То что ваш вывод не логичен.

[Е.А.Меркулов]

Для наглядности, величины:
\(\ell=6\cdot 10^{10}~~м. \\ t=3\cdot 10^{10}~~сек.\)
будем считать "большими" величинами. a:
\(\delta \ell=6\cdot 10^{-10}~~м. \\\delta t=3\cdot 10^{-10}~~сек.\)
...величинами "малыми".
Но независимо от наших названий: [latex]v={\ell \over t}={\delta \ell \over \delta t}=2~~м./сек.[/latex]Или, в общем случае, предельного перехода к "бесконечно малым" величинам: [latex]v=\lim_{n \to -\infty}{6\cdot 10^{n} \over 3\cdot 10^{n}}=Const[/latex]

[Дмитрий Мотовилов]

Воистину!

[Е.А.Меркулов]

Чаво "Воистину"-то ?
В Микромире, само понятие "бесконечно малого" теряет всякий физический смысл.

[Дмитрий Мотовилов]

В Микромире, само понятие "бесконечно малого" теряет всякий физический смысл.

Именно поэтому теряет смысл и сюжет этой темы.

[Е.А.Меркулов]

Как всегда, ошибаетесь.
Тема затрагивает основы Физики микромира базирующиеся на квантовых понятиях, к которым неприменимо обозначение "бесконечно малого" в математическом значении этого слова.

[Дмитрий Мотовилов]

Как всегда, ошибаетесь.
Тема затрагивает основы Физики микромира базирующиеся на квантовых понятиях, к которым неприменимо обозначение "бесконечно малого" в математическом значении этого слова.

А вот афтур темы пытается это сделать.

[Е.А.Меркулов]

Не пытайтесь "домысливать" за автора темы.
Мыслить - это не ваше.
Вы даже не в состоянии уразуметь, что автор говорит о "бесконечно малом" в физическом значении этого слова:

величины dx и dt должны быть фиксированными, конечными, а вовсе не бесконечно малыми.

Речь идет о квантах, как физическом пределе "бесконечно малого".

[Дмитрий Мотовилов]

Вы даже не в состоянии уразуметь, что автор говорит о "бесконечно малом" в физическом значении этого слова:  Речь идет о квантах, как физическом пределе "бесконечно малого".

Так он нелогично подводит под физику чисто математическую базу.

[Сергей Заикин]

Речь идет о квантах, как физическом пределе "бесконечно малого".

А что у нас является минимальным квантом?
Правильно - минимальный квант действия, описываемый постоянной Планка.

[Е.А.Меркулов]

Так он нелогично подводит под физику чисто математическую базу.

Физика, без математической базы – есть демагогия.
Впрочем, санитарам этого не понять.

[Е.А.Меркулов]

А что у нас является минимальным квантом?
Правильно - минимальный квант действия, описываемый постоянной Планка.

"Минимальный квант" – звучит как "масло масленное".
Квант – это уже нечто минимальное, по самой своей природе. И потому, КВАНТ не может быть, ни минимальным, ни максимальным, ни еше абы каким.

К примеру, энергия связи ( \( E \)) электрона с атомным ядром квантуется (содержит натуральное число квантов: \( n \)) с учетом заряда атомного ядра: \( Z \) [latex]E_n=-{Z^2\cdot R\cdot h \over n^2} =-13.6 \cdot ({Z\over n})^2[/latex]Т.е. (в этом случае квантовой системы) в качестве КВАНТА энергии выступает не просто постоянная Планка, а величина: \( Z^2\cdot R\cdot h =Const\)

Примером более сложных квантовых систем, являются элементарные частицы, массы которых (МзВ/с²) квантуют сразу 2 кванта: \( квант~ лептонной~ массы: ~~E_a=1.6\\ квант~ барионной~ массы: ~~ E_b=899.8\).
Причем, сам квант лептонной массы имеет различные зарядовые состояния, в зависимости от количества: \( n \) – носителей элементарного заряда: \(e^\pm\), содержащихся в нем.
\( E_n=f(n)=\begin{cases}   (n=1)&\to  & E_1=1.3 \\     (n=2)&\to  & E_2=6.8 \\   (n=3)&\to  & E_3=36.9 \\
  (n=4)&\to  & E_4=175.9 \\ \end{cases}\)

[Сергей Заикин]

Физика, без математической базы – есть демагогия.
Впрочем, санитарам этого не понять.

Но можно хотя бы попытаться объяснить.
Например, Санитар не понимает, что производные это отношение двух величин, например dx и dt.
Физический смысл этой производной является величина мгновенной скорости перемещения некоего объекта в пространстве.
Эта скорость может быть вычислена, измерена, но в любом случае она является реальностью.
Измерить означает соотнести величину измеряемого с эталоном или количеством эталонных мер. Соотносить предполагается естественно одинаковые по смыслу величины, то есть имеющие одну и ту же единицу измерения.
Однако в реальности часто приходится соотносить и разные по смыслу величины. Именно отношение (соотношение) разных величин между собой, оказывается, является производной.  И осуществлять это соотношение разных величин, оказывается, умеет Природа.
Именно природные явления и их соотношения между собой устанавливают реальные величины скоростей, градиентов и прочих физических величин, являющихся производными (одних величин по другим).

Эта мысль (о физическом смысле математической производной)  представляется мне достаточно интересной.

[Е.А.Меркулов]

Эта мысль (о физическом смысле математической производной)  представляется мне достаточно интересной.

Вы правы.
Однако "конечно малых величин" в математике просто не существует. А в физике "конечная малость" упирается в кванты. Квантованы все параметры нашего Мира (это мое мнение, которое никому не навязываю). Просто в Макромире мы имеем дело с величинами, измеряемыми ахрилионами квантов и потому (не в состоянии заметить отклонение \(\pm\)один от целого ахрилиона) считаем эти величины непрерывными. Но в Микромире – квантовый товар поштучный. И это меняет многое, если не сказать – все.

Для наглядности, рассматриваем мгновенную скорость: \(v=\delta \ell/\delta t\)
Пусть в Макромире: \( \delta \ell =4~ ахрилиона~(\pm 4)~квантов~ длины \\ \delta t=2 ~ секунды \)
Тогда:  \(v= (4~ахр.~ \pm 4) /2=(2~ ахрилиона~ \pm 2)~ квантов~ длины~ в~ секунду\)
В нашем Макромире – все едино, что 2 ахрилиона плюс 2, что 2 ахрилиона минус 2, что 2 ахрилиона ровно.
Но стоит нам "снизойти" до Микромира, где (уменьшая масштаб с той же погрешностью): \(\delta \ell =4 (\pm 4)~квантов~ длины \)
Скорость окажется: \(v= (4 \pm 4) /2=(2 \pm 2)~ квантов~ длины~ в~ секунду\)
То есть, чтой-то от 0 до 4 к.д./сек. – уже есть кое-какая разница.