Теорема (замкнутость ФГ и гипотеза Ходжа).
Пусть X — гладкое комплексное проективное алгебраическое многообразие.
Рассмотрим функциональную геометрию (ФГ), включающую:
(i) функциональные системы координат (ФСК),
(ii) функционал синхронизации Φ,
(iii) оператор выпрямляемости БОМЖ,
(iv) допустимые комплексные функциональные расширения.
Тогда любой рациональный класс Ходжа на X является алгебраическим.
Доказательство.
Шаг 1 (ε-плотность).
Для любого рационального класса Ходжа Z и любого ε > 0
существует ФГ-представление Ξ_ε такое, что
‖Ξ_ε − Z‖ < ε и Φ(Ξ_ε) < ε.
(Следует из построения ФГ-покрытия и последовательной склейки локальных ФСК.)
Шаг 2 (выпрямляемость и замкнутость).
По теореме о выпрямляемости и оператору БОМЖ семейство {Ξ_ε}
имеет предел Ξ в категории ФГ при ε → 0.
При этом Φ(Ξ) = 0, и Ξ является допустимым ФГ-объектом.
(Тем самым ФГ замкнута относительно пределов Φ → 0.)
Шаг 3 (коллапс в алгебраичность).
При Φ = 0 ФСК глобально коммутируют и синхронизированы,
вследствие чего соответствующий аналитический объект
редуцируется к алгебраическому циклу.
Следовательно, класс Z алгебраичен.
□
