Обобщенная формула Боде

[Е.А.Меркулов]

Иоганн Боде в 1772 году оформил, установленную Иоганном Тициусом еще в 1766 году, геометрическую прогрессию роста межпланетарных расстояний солнечной системы, в виде математической формулы: \[ a_n=0.3\cdot 2^n+0.4 \]где \(n\) - есть номер планеты по мере удаленности от Солнца
      \(a_n\) - значение большой полуоси орбиты этой планеты, в астрономических единицах.

И, на тот исторический момент времени, только Меркурий не пожелал вписываться в эту функциональную зависимость, а на орбите №3 решено было искать, предсказанную формулой Боде, планету:\begin{array}{|c|c|c|c||c|}
  планета & n & a_n~(а.е.) & фактически & погрешность \\
  \hline
  Венера & 0 & 0.7 & 0.723 & 4 \mbox {% } \\
  Земля & 1 & 1.0 & 1.0 & 0 \mbox {% }  \\
  Марс & 2 & 1.6 & 1.52 & 5 \mbox {% }  \\
  планета~Боде & 3 & 2.8 &  ? &  - \\
  Юпитер & 4 & 5.2 & 5.2 & 0 \mbox {% }  \\
  Сатурн & 5 & 10.0 & 9.54 & 5 \mbox {% }  \\
  \end{array}

[Е.А.Меркулов]

В 1781 году Уильям Гершель открывает ранее неизвестную комету, движущуюся по солнечной системе с аномально низкой скоростью. Два месяца у астрономов всей Европы уходят на то, чтобы определить размеры орбиты новой кометы. И, наконец, было установлено, что параметры этой кометы совпадают (в пределах 2% погрешности) с орбитой №6, предсказанной по формуле Боде. \begin{array}{|c|c|c|c||c|}   планета & n & a_n~(а.е.) & фактически & погрешность \\   \hline   Венера & 0 & 0.7 & 0.723 & 4 \mbox {% } \\  Земля & 1 & 1.0 & 1.0 & 0 \mbox {% }  \\  Марс & 2 & 1.6 & 1.52 & 5 \mbox {% }  \\  планета~Боде & 3 & 2.8 &  ? &  - \\  Юпитер & 4 & 5.2 & 5.2 & 0 \mbox {% }  \\  Сатурн & 5 & 10.0 & 9.54 & 5 \mbox {% }  \\    Уран & 6 & 19.6 & 19.19 & 2 \mbox {% }\end{array} Так была открыта новая планета солнечной системы, изначально (на протяжении двух месяцев) числящаяся в ранге кометы.

[Е.А.Меркулов]

В 1801 году последовало долгожданное обнаружение (малоизвестным астрономом Джузеппе Пьяцци) планеты Боде, которая оказалась расположенна в том самом месте солнечной системы, которое ей и предписывалось формулой Боде: \begin{array}{|c|c|c|c||c|}   планета & n & a_n~(а.е.) & фактически & погрешность \\   \hline   Венера & 0 & 0.7 & 0.723 & 4 \mbox {% } \\  Земля & 1 & 1.0 & 1.0 & 0 \mbox {% }  \\  Марс & 2 & 1.6 & 1.52 & 5 \mbox {% }  \\  Церера & 3 & 2.8 &  2.77 &  1 \mbox {% }   \\  Юпитер & 4 & 5.2 & 5.2 & 0 \mbox {% }  \\  Сатурн & 5 & 10.0 & 9.54 & 5 \mbox {% }  \\    Уран & 6 & 19.6 & 19.19 & 2 \mbox {% }\end{array} Правда, новая планета солнечной системы оказалась крайне мала. Ее диаметр более чем втрое уступал диаметру Луны. Но это нисколько не мешало считать данное открытие очередным (вслед за открытием Урана) экспериментальным подтверждением справедливости правила Тициуса-Боде.

[Е.А.Меркулов]

Всего год спустя (в 1802-м), Генрих Ольберс обнаруживает на орбите планеты Боде второе небесное тело, названное Палладой. И сразу же возникает подозрение, что Церера с Палладой представляют собою лишь обломки ранее погибшей планеты солнечной системы – взорвавшегося Фаэтона. Данная гипотеза логичным образом объясняла малые размеры этих двух тел, расположенных на общей орбите, расчитанной по правилу Тициуса-Боде для «полновесной» планеты.
Вместе с тем (для признания правила Тициуса-Боде полноправным законом планетарных расстояний), требовалось «закономерно вписать» в это правило и, все еще находившийся в каком-то подвешенном состоянии, Меркурий. Проблема соответствия этой планеты правилу Тициуса-Боде, была решена путем признания за Меркурием довольно нелепого планетарного индекса «минус бесконечность». При этом, так же, вспомнили и о мнении Тициуса по поводу еще одной, недостающей в солнечной системе (наряду с планетой Боде) планеты (с индексом «минус 1») , которую Тициус помещал между орбитами Меркурия и Венеры: \begin{array}{|c|c|c|c||c|}   планета & n & a_n~(а.е.) & фактически & погрешность \\   \hline   Меркурий & -\infty & 0.4 & 0.387 & 4 \mbox {% }\\    “планета~Тициуса” & -1 & 0.55 & ?  & - \\ Венера & 0 & 0.7 & 0.723 & 4 \mbox {% } \\  Земля & 1 & 1.0 & 1.0 & 0 \mbox {% }  \\  Марс & 2 & 1.6 & 1.52 & 5 \mbox {% }  \\  \hline Церера &   &   &  2.77 &     \\  “планета~Боде”  & 3 & 2.8 &  &     1 \mbox {% }  \\  Паллада &  &   &  2.77 &  \\ \hline Юпитер & 4 & 5.2 & 5.2 & 0 \mbox {% }  \\  Сатурн & 5 & 10.0 & 9.54 & 5 \mbox {% }  \\    Уран & 6 & 19.6 & 19.19 & 2 \mbox {% }\end{array} Однако планета Тициуса (в отличии от планеты Боде) не наблюдалась даже в форме обломков. Что касалось обломков самой планеты Боде, за которой (с подачи Ольберса) прочно закрепилось название: Фаэтон, то все они, как Церера с Палладой, так и еще неоткрытые, должны были (по всеобщему мнению астрономов) располагаться в промежутке между двумя гравитационными резонансами Юпитера: от 1/3 до 2/5. Т.е. на удалении от Солнца: от 2,50 до 2,82 астрономических единиц. Что и было подтверждено открытием в 1804 году (Кaрлом Гардингом) третьего обломка Фаэтона (Юноны) на орбите с большой полуосью в 2,672 а.е.

[Е.А.Меркулов]

Однако открытие все тем же неугомонным Ольберсом уже четвертого обломка Фаэтона нарушало иллюзию об их резонансном расположении:
\begin{array}{|c|c|c|c||c|} обломок~Фаэтона   & №  & год~обнаружения & a_n~(а.е.) & первооткрыватель \\   \hline     \hline Церера & 1  &  1801 &  2.7653 &   Пьяцци  \\ 
 Паллада & 2 & 1802 & 2.773 &     Ольберс  \\ 
Юнона & 3    &1804   & 2.672 &Гардинг \\
 Веста & 4 & 1807 & 2.361  & Ольберс   \\  \end{array}

[Arkadiy]

Есть вариант, что планета не смогла сформироваться из-за гравитационных полей Юпитера и Сатурна

[Е.А.Меркулов]

Вариант, конечно, есть.
Но вот только он не вписывается в данные по экзопланетным системам, где и гораздо бóльшие гравитационные поля соседей, не мешают формированию планет.

Поскольку у нас сила приливного воздействия планеты на своего соседа, есть величина: \(F=m/ \ell^3\)
где \( m \) – масса планеты
а \(\ell \) – расстояние до соседа
…то (измеряя массу в массах Земли, а расстояния в астрономических единицах) можно оценить влияние приливных сил Юпитера на Фаэтон, при максимальном сближении и пренебрегая эксцентриситетами их орбит, в 23.0 условные единицы.
Аналогичное влияние Сатурна на Фаэтон, составит 0.3 у.е.

А теперь берем первую попавшуюся под руку экзопланетную систему:
https://exoplanet.eu/catalog/

Код: [Выделить]

   Planet     Mass(MEarth) a(AU)

HD-86226 b 143 2.73
HD-86226 c 7.25 0.049 И считаем силу приливного влияния экзопланеты HD-86226 b на экзопланету HD-86226 c.
Получаем: 7,3 наших у.е. Согласен, пример не очень удачный. Поэтому второй пример берем из того же каталога, но уже не наугад:

Код: [Выделить]

  Planet      Mass(MEarth)     a(AU)

Kepler-451 d 559 0.2
Kepler-451 b 591 0.9
Kepler-451 c 512 2.1 Здесь сила приливного влияния экзопланеты Kepler-451 d на экзопланету Kepler-451 b составляет: 1629.7 у.е., а экзопланеты Kepler-451 с на нее же, еще 296.3 у.е. Что нисколько экзопланете Kepler-451 b не помешало «сформироваться из-за гравитационных полей» экзопланет Kepler-451 d и Kepler-451 с

Другими словами (по вашему неумному, скажем так, варианту), приливные силы Юпитера и Сатурна (\( F=23.3\)) помешали сформироваться Фаэтону, а сил Kepler-451d и Kepler-451с (\( F=1926.0\)) – не хватило на помеху для формирования Kepler-451b
И ничего, что этих «нехвативших» сил было в 82 раза больше, чем сил «хвативших»?!

[Е.А.Меркулов]

Обратим свой взор от далеких экзопланет к нашей родной солнечной системе. И запишем формулу Боде в целых числах, выделив коэффициент (\(k_\circ =0{,}1\) астрономической единицы) в качестве масштаба системы: \[ a_n=k_\circ \cdot (3\cdot 2^n+4) \] где \(k_\circ =0{,}1~ a.e. - ~это~ масштаб~ солнечной~ системы \\ k_\circ =67~ тыс.км.~ -~ есть~ масштаб~ спутниковой~ системы~ Юпитера\\ k_\circ =27~ тыс.км.~ - ~масштаб~ спутниковой~ системы ~Урана\)

Так, простое изменение масштаба системы, позволяет рассчитывать местоположение не только планет в солнечной системе, но и спутников в системах планет-гигантов. 
Что позволяет обобщить формулу Боде на все сателлитные системы Вселенной.

[Е.А.Меркулов]

Формула Боде для системы Юпитера: \(a_n=(3\cdot 2^n+4)\cdot67  \) тыс.км.
определяет (по параметру \(n\)) среднюю удаленность галилеевых спутников от планеты-гиганта:  \begin{array}{|c|c|c|c||c|}   спутник & n & a_n~(тыс.км.) & фактически   \\   \hline Ио & 0 & 469  &  421,8    \\  Европа & 1 &  670 &  671,1   \\  Ганимед & 2 & 1072  &   1070,4   \\ Каллисто & 3 &  1876 &    1882,7     \end{array}

[Е.А.Меркулов]

Формула Боде для системы Урана: \(a_n=(3\cdot 2^n+4)\cdot 27  \) тыс.км.
определяет (по параметру: \(n\)) среднюю удаленность главных спутников от планеты-гиганта:  \begin{array}{|c|c|c|c||c|}   спутник & n & a_n~(тыс.км.) & фактически  \\  \hline Ариэль & 0 & 189  &  190,9  \\ Умбриэль & 1 &  270 &  266,0  \\ Титания & 2 & 432  & 436,3 \end{array}

[Е.А.Меркулов]

Формула Боде для планетной системы: \(a_n=(3\cdot 2^n+4)\cdot 0{,}1\) а.е.
определяет (по параметру: \(n\)) среднюю удаленность (большую полуось орбит) планет от Солнца: \begin{array}{|c|c|c|c||c|}   планета & n & a_n~(а.е.) & фактически \\   \hline  Венера & 0 & 0.7 & 0.723  \\  Земля & 1 & 1.0 & 1.0 \\   Марс & 2 & 1.6 & 1.52 \\   - & 3 & 2.8&- \\  Юпитер & 4 & 5.2 & 5.2   \\  Сатурн & 5 & 10.0 & 9.54 \\   Уран & 6 & 19.6 & 19.19 \\   \end{array}

[Е.А.Меркулов]

При сравнении показателей трех сателлитных систем, обращает на себя внимание наличие "предела" натурального ряда:  \[ N_\circ = \lim~n \] Который обусловлен массой центрального тела системы.
Так, если масса Юпитера превышает массу Урана на 1 порядок, то и предел его системы (\(N_\circ =3\)), так же на 1 единицу превышает предел системы Урана (\(N_\circ =2\)).
А, поскольку масса Солнца на 3 порядка превышает массу самого Юпитера, то и предел планетной системы (\(N_\circ =6\)) на 3 единицы превышает предел спутниковой системы этого гиганта (\(N_\circ =3\)).

Что, впрочем, вполне ожидаемо:
Более массивные небесные тела должны иметь (пропорционально логарифму своей массы) и более представительные (по количеству спутников или планет) системы своих сателлитов.

[Е.А.Меркулов]

Системы спутников Юпитера и Урана своей структурной завершенностью не только ни в чем не уступают планетной системе Солнца, но даже (не имея проблем с "пустотами") превосходят ее! Данное, весьма существенное, обстоятельство позволяет вести исследования уже в рамках строгого статистического анализа. Что было совершенно невозможно в прежнем представлении о Солнечной системе как единичном спутниковом образовании, реально доступном для наблюдения во всех безбрежных просторах огромной Вселенной. Сравнить и сопоставить “единственную” в своем роде Солнечную систему можно было разве что с аналогичными системами соседних звезд. Причем, в результате прямых, а не косвенных методов исследования.

А это уже перспектива лишь весьма отдаленного будущего. Как выясняется, для подобного сравнения вовсе не так уж и неизбежно “подниматься” к самым звездам. Вполне достаточно ограничиться сопоставлением с системами более низкого ранга – спутниковыми системами планет. Так, помимо уже описанных выше спутниковых систем Солнца и Урана, в нашем полном распоряжении имеются также системы Сатурна, Плутона, Нептуна, Земли и Марса. Все они, как правило, изобилуют великим множеством мелких (астероидных) небесных тел осколочно-обломочной формы. Именно это многообразие “космического мусора” и заслоняет от нас величественную картину строгих законов формирования спутниковых систем.

Так, чтобы избежать уподобления усердно педантирующим планетологам, необходимо ограничиться рассмотрением структурного расположения в Солнечной системе лишь крупных (более 1000 км. в диаметре) небесных тел, которых (исключая само Солнце) набирается ровным счетом двадцать пять штук.