Производная не целого порядка

[Masterov]

Мы привыкли к тому, что производные и кратные интегралы всегда целого порядка.
Прошло 300 лет со дня изобретения дифференциального и интегрального счислений,
и за эти 300 лет никто не задумался над вопросом: а может ли быть производная
порядка одна треть (к примеру)?
А может быть порядок производной - комплексным?
А переменным - может быть?
Порядок производной как переменная величина - возможно?
А может быть функцией каких-то переменных порядок производной?
А можно ли взять производную по порядку производной?

ОТВЕТ: Да, всё это возможно, и я покажу - как найти производную не целого порядка.

[Masterov]

Производная комплексного порядка

Про первую производную, вторую, третью... вы знаете.

А можно ли найти производную порядка две трети, или порядка корня из двух?

Как такое можно сделать?

Ща покажу.

Допустим у нас есть некоторая функция \(f(x)\).
И пусть Фурье-образ её - \(F(j\omega)\).
А ещё нам известно, что производная порядка \(n\) от нашей функции (\(f^{(n)}(x)\)) такой Фурье -образ: \((j\omega)^nF(j\omega)\).

Знакомо? Да?
А кто сказал, что \(n\) - целое?
Ну правда - что нам мешает записать так:

\(f^{(\sqrt{2})}(x)\doteq(j\omega)^{\sqrt{2}}F(j\omega)\)

Мы можем изобразить производную комплексного порядка:

\(f^{(a+jb)}(x)\doteq(j\omega)^{a+jb}F(j\omega)\)

Почему - нет?

А производная как переменная? Слабо?

Запросто! Смотри:

\(f^{(z)}(x)\doteq(j\omega)^{z}F(j\omega)\)

Теперь по производной можно взять производную или проинтегрировать по ней.

Порядок производной может быть функцией:

\(f^{(g(z))}(x)\doteq(j\omega)^{g(z)}F(j\omega)\)

=================================

Свойства производных и интегралов не целого порядка я изучал... давно. Лет 30-ть назад.
Но компьютеры мне показались интереснее и я это дело бросил.
Даже не помню - на каком месте.
Но это направление мне кажется интересным.
=========================================


Насколько я помню, производная степенной функции произвольного порядка: \(\left(x^n\right)^{(z)}=\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-z)}x^{n-z}\)

Вот ещё:

\(\left(e^{\lambda x}\right)^{(z)}=\lambda^{(z)}e^{\lambda x}\)

\(\left(\sin{x}\right)^{(z)}=\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{(z)}=\frac{i^ze^{ix}-(-i)^ze^{-ix}}{2i}=
\frac{e^{iz\frac{\pi}{2}}e^{ix}-e^{-iz\frac{\pi}{2}}e^{-ix}}{2i}=
\frac{e^{i(x+z\frac{\pi}{2})}-e^{-i(x+z\frac{\pi}{2})}}{2i}=
\sin{(x+z\frac{\pi}{2})}\)

Например:

\(\left(\sin{x}\right)^{(\frac{1}{3})}=\sin{(x+\frac{\pi}{6})}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{x}+\frac{1}{2}\cos{x}\)

[Masterov]

В общем случае производную не целого порядка можно записать в виде свёртки:

\(f^{(z)}(x)=\int\limits_{-\infty}^{-\infty}\delta^{(z)}(\xi)f(x-\xi)d\xi=\int\limits_{-\infty}^{-\infty}\delta^{(z-n)}(\xi)f^{(n)}(x-\xi)d\xi=\int\limits_{-\infty}^{-\infty}\delta^{(z-[z])}(\xi)f^{[z]}(x-\xi)d\xi\)

Где:
\(\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{-\infty}e^{i\omega x}d\omega\)

Производная дельта-функции:
\(\delta^{(z)}(x)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{-\infty}(i\omega)^ze^{i\omega x}d\omega\)

[Masterov]

Практическая ценность расширения понятия производной и интеграла не очевидны.
Да иначе и не могло бы и быть.
Лейбниц не сразу осознал, что изобрёл нечто невероятное,
что изменит всю науку, поднимет науку на качественно иной уровень.
Ньютон оказался прозорливее.

То же ждёт и обобщение производной.
Исследование свойств новых математических объектов
даст возможность взглянуть "другими глазами" на известные задачи,
которые нынче считаются нерешабельными.

Я уверен: обобщение понятия производной и интеграла
даст новый стимул, новый толчёк в развитии науки,
которого мы ждём уже 300 лет.

[Masterov]

Допустим вы наблюдаете на осциллографе меандр:


А так будет выглядеть его производная порядка 0.5:


Этот меандр будто пропустили через RC-фильтр.
И этот не только внешнее сходство.
Действие производной, порядок которой не превышает единицу действительно эквивалентен действию на сигнал RC-фильтра.

[Masterov]

Практика применения производной комплексного порядка

Пусть мы имеем разложение в ряд Фурье периодической фенкции
\(f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{inx}\)

Выше я уже писал:
\(\left(e^{\lambda x}\right)^{(z)}=\lambda^ze^{\lambda x}\)

Тогда:
\(f(x)^{(z)}=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}(in)^za_ne^{inx}\)
======================

Именно таким образом из меандра


была получена его  производная порядка 0.5: